E ǂ mc²

Jedem ist die klassische Formel der Energie E = mc² bekannt, doch warum ist das so und ist das denn überhaupt richtig?

Die Formel wurde durch die spezielle Relativitätstheorie Albert Einsteins festgestellt und experimentell bewiesen:



Es besagt, dass die Masse  und die Ruheenergie ${\displaystyle E}$ eines Objekts zueinander proportional sind. Eine Änderung der inneren Energie eines Systems bedeutet daher auch eine Änderung seiner Masse. Durch den großen konstanten Umrechnungsfaktor ${\displaystyle \textstyle c^{2}}$ gehen Energieumsätze, wie sie im Alltag typisch sind, mit nur kleinen, kaum messbaren Änderungen der Masse einher. So erhöht sich die Masse einer typischen Autobatterie durch die in ihr gespeicherte elektrische Energie um nur 40 Nanogramm.

Doch was passiert mit der Geschwindigkeit v eines sich bewegenden Körpers (die sogenannte relativistische Geschwindigkeit, da sie nur in einem Inertialsystem festgestellt werden kann) ?

Die mechanische Arbeit W eines Körpers ergibt sich aus der Kraft F, die auf den Körper einwirkt und die dadurch zurückgelegte Strecke: W = F s
Die Kraft ergibt sich lt. dem zweiten Newtonschen Gesetz aus der Masse und Beschleunigung.
Die Strecke ist die Hälfte des Produkts zwischen der einwirkenden Beschleunigung und der Einwirkzeit zum Quadrat.
Daraus folgt:  W = F s = m a 1/2 at² <=> W = 1/2 m a²t² = 1/2 mv²
Die mechanische Arbeit ist der Bewegungsenergie (Kinetische Energie) gleichzusetzen:

Ekin = 1/2 mv² 

In einem Inertialsystem, in dem die Referenz die Erde mit der Masse m2 ist, gleicht die potentielle Energie zwischen zwei Körpern dem Produkt des Abstandes zwischen den zwei Körpern und der Kraft, die auf den jeweiligen Körper einwirkt: Epot = r F

Laut dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Kraft F, die auf einen Körper einwirkt:
F = G m1 m2  / r²  (G ist die universelle Gravitationskonstante G = 6,67 * 10^-11)

Epot = r G m1 m2  / r² = G m1 m2  / r

Die Gesamtenergie in einem Inertialsystem wäre demnach
Eges = Ekin + Epot = 1/2 m1 v² +  G m1 m2  / r  =  m1 ( v² / 2 + G m2 / r)

In einem Nonineral System, also ein System ohne Trägheitsbezugssystem (Non-Inertialsystem) wird auch für die Geschwindigkeit des Körpers m allein auf die Lichtgeschwindigkeit c  Bezug genommen.
Für die Berechnung der gesamten Energie in solchen Systemen wird die Lorentz Transformation verwendet:




Bei v = 0 ist die kinetische Energie null. Für kleine Geschwindigkeiten kann die kinetische Energie vernachlässigt werden. Mit Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit wird die kinetische Energiekomponenteγ unendlich groß!

Die Formel E = mc²  bezeichnet also nur die Ruheenergie in einem Nonineral System.
Die Komplette Formel für die Gesamtenergie ist daher:

Eges = γmc²  bzw. für ein Inertialsystem: Eges = m1 ( v² / 2 + G m2 / r)